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区间套定理(Nested Interval Theorem)是实数系的基本定理之一,它描述了一系列闭区间的交集非空。具体而言,区间套定理表述如下:

设有一系列闭区间 $[a_n,b_n]$,满足:

  1. 对于任意 $n\in\mathbb{N}$,$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$;
  2. $\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$。

则存在唯一的实数 $x$ 属于所有的闭区间 $[a_n,b_n]$,即 $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]={x}$。

接下来我们用区间套定理证明闭区间上连续函数根的存在性定理。

设 $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ 是一个连续函数,且 $f(a)$ 和 $f(b)$ 异号,即 $f(a)\cdot f(b)<0$。我们要证明:存在一个实数 $c\in(a,b)$,使得 $f(c)=0$。

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续,那么它在 $[a,b]$ 上取到最大值和最小值,即存在 $x_m,x_M\in[a,b]$,使得对于任意 $x\in[a,b]$,有 $f(x_m)\leq f(x)\leq f(x_M)$。如果 $f(x_m)=f(x_M)=0$,那么我们已经找到了根,即 $c=x_m$ 或 $c=x_M$。

如果 $f(x_m)<0$,那么我们可以构造一列闭区间 $[a_n,b_n]$,满足 $[a_n,b_n]\subseteq [a,b]$,且 $f(a_n)<0<f(b_n)$。具体而言,取 $a_1=a$,$b_1=b$,如果 $f((a_1+b_1)/2)<0$,则取 $a_2=(a_1+b_1)/2$,$b_2=b_1$,否则取 $a_2=a_1$,$b_2=(a_1+b_1)/2$。以此类推,我们可以得到一列闭区间 $[a_n,b_n]$,满足:

  1. 对于任意 $n\in\mathbb{N}$,$[a_{n+1},b_{n+1}]\subseteq [a_n,b_n]$;
  2. $f(a_n)<0<f(b_n)$;
  3. $\lim_{n\to\infty}(b_n-a_n)=0$。

根据区间套定理,存在唯一的实数 $c$ 属于所有的闭区间 $[a_n,b_n]$,即 $\bigcap_{n=1}^\infty [a_n,b_n]={c}$。由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续,那么 $f(c)=\lim_{n\to\infty}f(x_n)$,其中 ${x_n}$ 是任意满足 $x_n\in [a_n,b_n]$

且 $\lim_{n\to\infty}x_n=c$。由于 $f(a_n)<0<f(b_n)$,根据介值定理,存在一个实数 $y_n\in[a_n,b_n]$,使得 $f(y_n)=0$。因此,我们有 $|y_n-c|\leq b_n-a_n$,于是 $\lim_{n\to\infty}y_n=c$。根据连续函数的性质,我们有 $\lim_{n\to\infty}f(y_n)=f(c)$。又因为 $f(y_n)=0$,所以 $f(c)=0$。

如果 $f(x_M)>0$,我们可以类似地构造一列闭区间 $[a_n,b_n]$,满足 $[a_n,b_n]\subseteq [a,b]$,且 $f(a_n)>0>f(b_n)$。然后再用区间套定理证明存在一个实数 $c$,使得 $f(c)=0$。

综上所述,闭区间上连续函数根的存在性定理得证。

Last modification:March 17, 2023
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